La société est réglée sur une base sexagésimale sumérienne et babylonienne

 les humains ont partagé environ 50 000 ans d'expériences auditives similaires. La théorie musicale en tant que science acoustique commence par la définition d'intervalles, la distance entre les hauteurs, par des rapports d'entiers, ou des nombres à compter, une découverte attribuée à Pythagore au VIème siècle avant JC.

Ce n'est qu'au XVIe siècle de notre ère, lorsque Vincenzo Galilei (son père, un musicien accompli), essaya de répéter certaines des expériences attribuées à Pythagore. Aujourd'hui, grâce aux études linguistiques et archéologiques modernes, notre conscience de cultures beaucoup plus anciennes que celle de la Grèce s'est accrue de façon phénoménale; Cela nous permet de mettre de côté les inventions fatiguées sur Pythagore et de raconter une histoire plus plausible, impliquant des héros anonymes dans d'autres pays.

Mon histoire est centrée sur la Mésopotamie. Cela montre comment chaque élément de la théorie de l'accord pythagoricien était implicite dans les mathématiques et la mythologie de ce pays pendant au moins mille ans, et peut-être deux mille, avant que les rationalistes grecs ne dégagent enfin ce que nous sommes prêts à reconnaître comme science depuis sa longue incubation dans la mythologie. .

Ce qui semble le plus étonnant dans l'ancienne Mésopotamie est la fusion totale de ce que nous séparons en sujets: musique, mathématiques, art, science, religion et fantasme poétique. Une telle fusion n'a été égalée que par Platon, qui en a hérité les formes. La déclaration de Socrate sur les principes généraux des études scientifiques dans le livre 7 de la République de Platon, avec les allégories harmoniques qui suivent directement dans les livres 8 et 9, guide mon exposé ici. Les prototypes mésopotamiens auxquels ils nous conduisent justifient pleinement le traitement réservé par Socrate à sa propre histoire comme une "plaisanterie des anciennes muses", héritée d'une glorieuse civilisation perdue. Les érudits devenus trop peu musicaux pour comprendre la part de l’humanité dans la divinité, comme le craignait Platon, peuvent toujours compter sur lui pour la compréhension, car tous ses nombreux écrits sur les harmoniques et la musique ont survécu.

La musique était aussi importante dans l'Inde ancienne, en Égypte et en Chine qu'elle l'était en Mésopotamie et en Grèce. Toutes ces cultures avaient une imagerie mythique similaire soulignant les mêmes nombres, qui sont si importants dans la définition des intervalles musicaux; Cela soulève des doutes quant à savoir si quelqu'un a jamais «inventé» la théorie acoustique. Par exemple, dans toute culture connaissant la harpe aussi intimement qu’elle l’était en Égypte et en Mésopotamie, la variété visible de longueurs de cordes et l’économie de matériaux (les cordes exigent une préparation minutieuse et souvent onéreuse) encouragent les constructeurs à se remarquez la corrélation entre la longueur d'une corde et la hauteur souhaitée.

De même, en Chine, où, vers 5000 av. J.-C., les os des pattes des grands oiseaux, dotés de trous de tonalité appropriés pour une échelle, apparaissent comme des flûtes jumelées dans des sépultures rituelles, l'importance de matériaux adéquats conditionnant les fabricants de tuyauterie à faire attention aux longueurs. Les ratios de base auraient pu être découverts plusieurs fois dans de nombreux endroits, plus probablement par des artisans et des praticiens aimants que par des philosophes. Certes, la découverte ne survint pas avant le 4ème millénaire avant notre ère, avant même que la 1ère dynastie égyptienne soit fondée ou que les Grecs aient atteint la côte méditerranéenne.

Une perspective nouvellement émergente

Au quatrième millénaire avant notre ère, les Sumériens, peuple d’origine incertaine et non sémitique, développèrent une haute civilisation en Mésopotamie, aujourd’hui au sud de l’Iraq. Pour des raisons qui ont été discutées vigoureusement mais ne sont pas claires, ils ont développé un système de numération base 60. En attendant d’être reconnus - et d’une manière évidente pour tout adepte du scribal, bien que ce soit invisible pour les illettrés - étaient les principaux modèles de théorie harmonique qui apparaîtront plus tard en Inde, à Babylone et en Grèce. Les tombes sumériennes de cette première période donnent une récolte de harpes, de lyres et de pipes, et la littérature qui subsiste sur des tablettes d'argile foisonne d'abondantes hymnes.

Dans l'écriture cunéiforme des Sumériens, qui a été inventée en même temps que le système de nombres en base 60, le panthéon des divinités est rationalisé en attribuant aux grands dieux les numéros en base 60 qui, comme nous allons le voir, codent les rapports primaires de musique. . Le glyphe, ou symbole, représentant le ciel ou l'étoile, suivi du nombre approprié, fait office de «surnom de dieu». (Voir fig. 1. Les valeurs numériques des divinités sont données dans Budge 1992.) Les chiffres révèlent leur signification dans réseaux triangulaires de compteurs de galets.

De plus, dans la mythologie de leur religion, les responsabilités et le comportement des dieux correspondent aux fonctions des nombres de dieu en acoustique de base 60. La cosmologie sumérienne est fondée sur la copulation métaphorique des tableaux numériques mâle A et femelle V, à partir de laquelle le «saint tétraktys» grec est extrait.

Par exemple, la tête du panthéon et père des dieux est le dieu du ciel An (Anu), dieu 60, écrit en cunéiforme en tant que signe 1 surdimensionné (voir fig. 5). Parce que les nombres en base 60 ont des significations de valeurs de position potentiellement infinies en tant que multiples ou sous-multiples de 60 (comme l'unité, 1, en arithmétique décimale), An = 60 (écrit en tant que 1) fonctionne comme le centre du corps entier des nombres rationnels. En langage mathématique, An est sa moyenne géométrique, qui est la moyenne entre tout nombre et son réciproque.

Anu / An est donc essentiellement une divinité qui ne fait rien, puisqu’il a ensuite été accusé d’être - un point de référence, parfaitement adapté pour représenter simultanément la bande médiane du ciel, le centre du corps de nombres et le milieu, ton de référence (le grec mese) dans un système d’accord. Il était destiné à être déposé par des leaders plus actifs parmi ses enfants, alors 
que la logique harmonique se concentrait plus clairement sur la structure et que la virtuosité même du calcul devenait subordonnée à une compréhension mathématique plus approfondie.

La théologie, depuis sa naissance en tant que «discours rationnel sur les dieux» et dans de nombreuses cultures plus tardives influencées par Sumer, est une allégorie mathématique avec une logique profondément musicale. La théorie de l'accord reste aujourd'hui une science fossile sans aucun changement dans ses paramètres de base - structurés par des dieux eux-mêmes sous forme numérique - depuis sa création dans Sumer vers 3300 av.

Pour entrevoir cette nouvelle vision, nous devons laisser de côté notre algèbre, nos ordinateurs et notre fierté de supériorité rationnelle, et nous représenter des nombres comme nous le faisions les anciens: concrètement. Nous devons apprendre à faire de l'arithmétique musicale avec une poignée de cailloux dans une matrice triangulaire, comme nous l'enseignent les Pythagoriciens, en imitant le modèle de briques du glyphe sumérien pour montagne.

Ensuite, comme Socrate, nous devons nous montrer les implications harmoniques de cette arithmétique avec un cercle dans le sable, car ce cercle est le cosmos, considéré comme infiniment cyclique, comme les tons de la gamme musicale (fig. 2).

Dans ce qui suit, je présente l'arithmétique mésopotamienne telle que Platon la pratiquait encore au IVe siècle av. J.-C., en étudiant ses allégories mathématiques pour trouver des indices à des exemples antérieurs. Platon est le dernier grand mythographe harmonique du monde européen; jamais un grand philosophe n’a autant ancré sa pensée dans la musique.

Rétrospectivement, le décodage des harmoniques sumérien-platoniciens s'avère étonnamment simple. N'importe qui, même un enfant, qui peut compter jusqu'à dix et chanter ou jouer de la gamme peut mettre en évidence les constructions de gamme qui ont modelé le cosmos.

Comme 60 est intégralement divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30, l’arithmétique en base 60 peut mettre en corrélation de nombreux sous-systèmes, permettant ainsi une manipulation fluide des fractions. Cette maîtrise très précoce des fractions garantissait une définition arithmétique adéquate des rapports de hauteur - vraisemblablement sous forme de rapports de longueur de cordes sur les premières harpes, de rapports de longueur approximatifs sur les flûtes semblables à la flûte ou de rapports de trous de son sur les aulos - quel que soit le nombre de tons impliqués et si les modèles de hauteur augmentent ou diminuent.

Vers 1800 avant notre ère, les Babyloniens sont devenus politiquement ascendants et ont réorganisé le panthéon sumérien, en conservant ses numéros de dieu et la terminologie mathématique correspondante. Ils ont développé le calcul en base 60 à un niveau de virtuosité arithmétique qui n’a été égalé en Europe qu’en 1600 environ et n’était pas compris à l’époque moderne jusqu’au milieu de notre siècle (voir Neugebauer, 1957). Ce n'est qu'en 1945, lorsque Neugebauer et A. Sachs ont publié la traduction de la tablette cunéiforme YBC 7289 de la collection Yale, que le monde a appris que l'ancienne Babylone (1800-1600 av. J.-C.) possédait une formule à base 60 pour la racine carrée de 2 cinq décimales (1.41421+), ou la formule permettant de générer tous les triples de Pythagore (un triangle avec des côtés de 3, 4 et 5 unités n’est qu’un exemple) mille ans avant que Pythagore n’explique le premier.

Les Grecs, qui pensaient toujours en termes de fractions d'unités égyptiennes (de sorte qu'un ton entier descendant de 8: 9, par exemple, a été construit en ajoutant laborieusement à la longueur de référence 1/8 de lui-même), auraient été étonnés d'apprendre que le Les Egyptiens, qu'ils révéraient, avaient comme eux été dépassés de loin par un ancien voisin.

La rareté des textes mathématiques sumériens conservés oblige les spécialistes à tirer de nombreuses conclusions de survivances babyloniennes ultérieures, et une grande partie de la littérature sumérienne reste non traduite ou inaccessible. Ainsi, au fur et à mesure que de nouvelles preuves linguistiques seront disponibles, l'histoire que je raconte ici devra être révisée, devenant de plus en plus sûre dans la datation, plus claire dans son sens et plus riche en détails.

Pour regarder dans l’avenir de l’histoire et voir la persistance des méthodes sumériennes / babyloniennes, Ptolémée, au 2e siècle de notre ère, dans l’Harmonica, enregistra l’ensemble des quelque vingt accords grecs qu’il connaissait avec des fractions sexagésimales (base 60). Entre environ 500 av. J.-C. et 150 après JC, l'astronomie babylonienne et grecque prospéra grâce au calcul en base 60. Il était encore utilisé par Copernic au XVe siècle et perdure dans l'astronomie moderne. Le calendrier chinois est toujours compté dans les années soixante. L’astronomie, cependant, en tant que science de la mesure précise qu’elle est devenue plus tard «était pratiquement inconnue dans l’ancien Sumer; au moins à partir d'aujourd'hui, nous n'avons qu'une liste d'environ vingt-cinq étoiles et rien de plus »(Kramer 1963).

Comment Base-60 survit dans la mesure du temps

Les horloges et montres analogiques équipées de aiguilles qui tournent pendant des heures, des minutes et des secondes sont des fossiles vivants de l’esprit arithmétique sumérien (fig. 3).

une. Les chiffres comportent des marqueurs visibles et tangibles sur le cadran (représentant la fixité du cycle temporel récurrent), ce qui limite les charges de mémoire et permet de réduire les opérations à compter et à ajouter.

b. Soixante peuvent être conçus, quand bon nous semble, comme une grande unité (un tour de la seconde ou de la minute), ce qui donne au contraire l’implication de 1/60.

c. La grande unité, alternativement, peut être conçue comme une puissance supérieure de 60 (corréler les rotations simultanées des aiguilles de seconde et de minute), pour 602 = 3 600 secondes est également une heure, ce qui donne à notre petite unité l’implication de 1/3 600. .

ré. Douze heures constituent une unité encore plus grande (une rotation de l’aiguille des heures) de 12 x 60 = 720 minutes et de 12 x 3 600 = 43 200 secondes, ce qui donne à la plus petite unité l’implication de 1/720 ou 1/43 200.

e. Nous évitons la confusion entre ces deux significations arithmétiques alternatives de la même manière que les Sumériens, à savoir, en nous rappelant le contexte des questions auxquelles nous essayons de répondre.

F. L’existence de différentes manières d’exprimer une unité, comme dans les exemples ci-dessus, indique et souligne 
l’importance de la réciproque.

Les musiciens, à la suite de Platon, projettent toujours leurs notes dans un cercle qui élimine les répétitions cycliques d'octave (Platon, dans le Timée, insiste sur le fait que Dieu ne fabrique qu'un seul modèle). Ainsi, aujourd’hui, à l’aide de notre gamme moderne harmonisée, nous pouvons identifier tout intervalle musical comme un multiple d’un demi-ton standard, à l’envie des fabricants de calendrier, qui, devant faire face aux irrégularités des jours, des mois et des années, jaloux de notre parfaite symétrie en douze tons. Mais l'approximation la plus proche de notre échelle à douze tons et à tempérament égal en petits nombres entiers reste celle fournie par l'arithmétique ancienne en base 60.

Numéros sumériens

Les nombres sumériens étaient imprimés sur de petites tablettes d'argile avec un stylet, au premier tour, plus tard triangulaires, inclinés pour certains nombres et verticalement pour d'autres (fig. 4). Les nombres de 2 à 9 ont été construits par répétition de l'unité, faite avec le bord du stylet. Un 10 était empreint de la fin; un 60 a été fait comme un grand 1 en appuyant le stylet plus fermement dans l'argile. L'équation 602 = 3.600 a été rayée en cercle (voir van der Waerden 1963). Quelques symboles seulement étaient nécessaires, et leur répétition les rendait faciles à décoder, minimisant ainsi les charges mémoire. L'idée d'un nombre a été concrétisée dans les traits nécessaires pour le noter (fig. 5).

Le calcul a été facilité par les tables de «inverses, multiplications, carrés et racines carrées, cubes et racines de cubes,… fonctions exponentielles, coefficients donnant des nombres pour le calcul pratique,… et de nombreux calculs métrologiques donnant des zones de rectangles, cercles» (Kramer 1963). De nombreuses copies de ces tableaux nous sont parvenues.

Les tables de multiplication standard apparient chaque nombre avec son inverse et donnent une importance particulière au sous-ensemble privilégié de nombres «normaux», dont les facteurs premiers sont limités à 2, 3 et 5 (des facteurs premiers plus grands conduisent nécessairement à des approximations dans les inverses). Les «nombres normaux» jusqu'à 60 sont représentés (fig. 6) avec leurs inverses, transcrites par exemple, de sorte que l'inverse de 40/60 = 2/3 soit égal à 1,30, ce qui signifie 90/60 = 3/2. Notez que seules les fractions les plus importantes de 60 sont déifiées (1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3 et 5/6). Les noms de tons sont les équivalents les plus proches dans la notation moderne. Plusieurs valeurs nécessitent 3 «lieux» sexagésimaux (indiqués par des virgules); tables auxiliaires emploient librement 6, 7 et même plus de places.

Symétrie sumérienne des contraires

Un indice révélateur de la psyché des Sumériens, de Platon et de nous-mêmes est l’affection pour la symétrie des contraires. Des conditions de symétrie inverses ou bilatérales conditionnent le calcul en base 60, car il conditionne la dialectique platonicienne. (“Certaines choses sont provocantes de la pensée et d'autres pas… Des choses provocantes… empiètent sur les sens avec leurs contraires.” Republic 524d) Face à un miroir, nous nous exposons à plus ou moins bien cette symétrie gauche / droite. opposés à travers un «plan de réflexion» imaginaire.

La balance à l’ancienne, ou poutre d’équilibre, incarne parfaitement cette notion (fig. 7). L'équilibre doit son fonctionnement à la gravité, mais son attrait pour nous, son attrait, est dû à notre oreille, qui en plus d'être l'organe de l'audition est également l'organe personnel de l'équilibre. Nos sentiments humains empathiques à l’égard du rayon d’équilibre affectent la symétrie physique inverse, ou bilatérale, en raison de l’expérience de l’équilibrage de notre propre corps, activité qui dépend de l’oreille et non de l’œil. Tous les calculs présentés plus tard seront alignés 
dans cette symétrie de base, avec Anu / An = 60 (ce qui signifie 1) sur le point d'équilibre. L'art sumérien élabore énormément cette symétrie des contraires (fig. 8).

La déification des tonalités

Les nombres sumériens déifiés, repris par Babylone, sont 10, 12, 15, 20, 30, 40 et 50, toutes les fractions du père Anu / An = 60 ans, tête du panthéon. Leurs valeurs fractionnaires et leurs noms divins sont indiqués ici avec une brève description de leurs fonctions mythologiques.

Anu / An, 60 ans, écrit en gros 1, «père des dieux» et première tête de panthéon, est une unité de référence. Il est équivalent dans notre notation à 60/60 = 1, où il fonctionne, selon les concepts modernes, comme "moyenne géométrique dans le domaine des nombres rationnels".

Enlil, 50 ans (5/6), "dieu sur la montagne" possédant 50 noms, est le tuteur spécial de l'humanité et a été promu à la tête du panthéon, vers 2500 av. J.-C. divinités Enlil en base 60, ce que les Grecs connaissaient comme le nombre premier humain, 5, dans leurs harmoniques base-10. En générant des tiers majeurs de 4: 5 et des tiers mineurs de 5: 6, il a sauvé un énorme travail arithmétique aux Sumériens, comme nous le verrons plus tard.

Ea / Enki, 40 (2/3), «dieu des eaux douces» et peut-être la divinité la plus occupée de Sumer, «organise la Terre», y compris la gamme musicale. Il déifie le nombre premier divin, 3, dans le rapport de la 5ème musicale 2: 3, la force de mise en forme la plus puissante de la musique après l'octave. (Notez que le trio des plus grands dieux (40, 50, 60) définit la triade musicale de base de 4: 5: 6 (do, mi, sol, se levant et mi, do, la, tombant). Le rapport 4: 5 définit une 3ème majeure et le rapport 5: 6 définit une 3ème mineure, prise à la hausse ou à la baisse dans la matrice de l'octave musicale.)

Sin, 30 (1/2), la Lune, établit la matrice de base de l'octave sumérienne en 1: 2 30:60.

Shamash, 20 ans (1/3), le Soleil, juge les dieux.

Ishtar, 15 (1/4), est l'incarnation même du féminin en tant que vierge, épouse et maîtresse de tous.

Nergal, 12 (1/5), est le dieu des enfers.

Bel / Marduk, 10 (1/6), le Baal biblique, était à l'origine une divinité mineure, mais devint finalement à la tête du panthéon babylonien au 2e millénaire avant notre ère. Il hérita de tous les pouvoirs des autres dieux, y compris les 50 noms d'Enlil. pas de géant vers un monothéisme «pythagore» construit sur les 10 premiers nombres.

Principes harmoniques grecs en arithmétique sumérienne

Voici les principales symétries arithmétiques des harmoniques sumériennes de la base 60, résumées dans la symétrie «héraldique» inverse affichée ci-dessus, mais exprimée en fractions modernes. On trouvera que chaque tonalité de l'échelle participe à de nombreux ratios de dieu, et tous les autres ratios sont leurs dérivés via la multiplication (ce que Platon entend par «mariage» dans sa métaphore élaborée de la République). Tous les concepts harmoniques dans mon analyse, cependant, sont grecs. La formule de Platon pour cette 
construction particulière peut être trouvée dans la République, livre 8; sa discussion des principes harmoniques généraux est dans le Timée.

Toutes les classes de hauteur générées par les nombres premiers 2, 3 et 5, jusqu’à l’indice de 60, sont représentées ici (fig. 9). 
N'oubliez pas que tous les doubles sont équivalents, de sorte que 3, 6, 12 et 24 définissent le même ton que 48, par exemple.

une. Les tons sont définis par des nombres.

b. La signification d'un nombre ne réside que dans son rapport avec les autres nombres.

c. La numérosité est régie par une économie arithmétique stricte. Du fait que les doubles significations sumériennes ont été supposées, les nombres 30, 32, 36,… sont dans les plus petits entiers pour ce contexte. Cette économie est quelque peu obscurcie en écrivant des rapports sous forme de fractions; éliminer mentalement la référence superflue des années 60.

ré. Chaque nombre est employé dans deux sens, grand et petit, affichés ici en tant que fractions réciproques.

e. Les doubles significations de grand et petit exigent que l'octave de base soit étendue sur une double octave 
de 30/60 = 1/2 à 60/30 = 2.

F. Les tons sont groupés par tétracordes (c'est-à-dire par groupes de quatre) dont les limites fixes indiquent toujours la proportion musicale 6: 8 = 9:12, définissant ainsi l'octave (6:12 = 1: 2), la 5e (2: 3, c'est-à-dire 6: 9 et 8:12) et le 4 (3: 4 ou 6: 8 et 9:12).

Remarquez comment la moyenne arithmétique 9 et la moyenne harmonique 8 établissent une symétrie inverse parfaite (voir fig. 10) et définissent le son entier standard sur 8: 9. Ces rapports définissent les seuls tons fixes de la théorie de l'accord pythagoricien et ils sont invariants. Pythagore aurait ramené cette proportion de Babylone au VIe siècle av. J.-C. En base 60, ces nombres de "cadrage" seraient nécessairement multipliés par 5 en 30:40 = 45:60.

Notez que Ea / Enki, dieu 40, définit ces cadres (DA tombant et G: D levant) dans son double rôle 40:60 et 60:40 et qu’il «organise donc littéralement la terre» (représentée par la chaîne) en do , fa, sol, do, fondements harmoniques de l’échelle moderne.

g. Enlil = 50 tons des classes de hauteur b et f appartiennent toujours à l'échelle opposée, car le dieu partage ces tons avec 36 
(c'est-à-dire, 30:36 = 50:60 et 30 et 60, «début et fin» coïncident) ; ainsi, Enlil est libre de superviser le système 
en nous rappelant la symétrie des contraires.

La promotion d'Enlil à la tête du panthéon symbolise peut-être cette idée. Il joue un rôle très actif, générant également plusieurs intervalles réduisant effectivement la numérosité, 
alors que le procréateur primal, Anu / An = 60, divinité à ne rien faire qui compte peu à Sumer et à Babylone, reste purement passif.

La dialectique platonicienne, cependant, souligne à nouveau l’importance d’un siège t4 invariant dans la moyenne », transformant ainsi la passivité d’Anu / An en tant que moyenne géométrique en la plus grande vertu socratique possible en tant que« l’unique ».

h. La version décroissante ou décroissante de cette échelle, comme indiqué [Figure 9], est dans notre propre mode majeur habituel. Il est plus communément noté un ton inférieur, sur les touches blanches de l'octave en ut. L'échelle montante à droite, son opposé symétrique, représente l'échelle de base de la Grèce antique, de l'Inde et de Babylone. Il est plus simplement noté un ton plus haut, sur les touches blanches dans l'octave grave.

Mon choix de D comme hauteur de référence est dicté par la nécessité de montrer les contraires simultanément, dans l’habitude arithmétique normative sumérienne que Platon exigera plus tard de ses étudiants en dialectique. Les futurs philosophes gardiens des villes idéalisées devaient devenir des experts en matière d'évaluation du bien-fondé de revendications contradictoires, exigeant la capacité de voir les opposés simultanément. La musique a été l’occasion par excellence de faire cela. La formation des enfants a donc commencé avec elle. 

Un aperçu du calendrier et de l'échelle

o fusionner les oppositions musicales présentées ci-dessus en une vue d'ensemble sumérienne / platonicienne, en éliminant toute reproduction d'octave et en mettant à nu la structure irréductible («le seul modèle de Dieu»), il suffit de projeter ces tons dans le même cercle de tons.

Dans la mythologie de Platon (dans les Critias), on trouve «Poséidon et ses cinq paires de fils jumeaux» (voir fig. 11), alignés en parfaite symétrie sumérienne sur le plan de réflexion vertical central. (Poséidon, à midi, successeur grec du dieu de l'eau Ea / Enki, est symétrique, début et fin de l'octave, que nous le traversions vers le haut ou vers le bas.) Ces onze tons constituent le seul ton symétries de classes jusqu’à un indice de 60.

Mais pour fusionner les fractions opposées afin que les nombres - comme les tonalités - affichent les mêmes rapports lus dans les deux sens, nous devons élargir le double numérique 1: 2 en 360: 720 (voir fig. 12). Si nous nous limitons aux nombres à trois chiffres, il n'y a, en plus des dix fils de Poséidon, qu'une autre paire de nombres symétriques, à savoir 405 et 640 (depuis 405: 720 = 360: 640). Celles-ci sont notées C et E pour indiquer leur différence très faible et insignifiante au plan mélodique par rapport à c et e. Cette différence «virgule» microtonale de 80:81, à peine perceptible en laboratoire et alors seulement par une bonne oreille, a été considérée par les Grecs comme la plus petite unité de mesure de la hauteur théoriquement utile et correspond à environ 1/9 de leur ton entier standard de 8: 9. L’intervalle des tons entre A et G (fig. 11 et 12) invite à une subdivision similaire,

Un candidat acceptable sur le plan musical (son erreur est en réalité inférieure à une virgule) apparaît maintenant avec un-bémol = 512 ou, alternativement, un 
dièse = 512, légèrement plus que notre valeur idéale et avec le «ratio de dieu» de 4: 5 avec C ou E.

Poséidon de Platon et ses dix fils sont à nouveau montrés (figure 12), avec le nouveau couple de symétrie C / E et le couple alternant a-flat / g-sharp (dont l'un manque toujours dans l'octave 360: 720) . Mon pendule vertical oscille maintenant doucement de part et d'autre de six heures, les chiffres étant lus alternativement dans l'ordre croissant et décroissant (c'est-à-dire, grand et petit).

En 512, où a-flat n'est pas tout à fait équivalent à g-sharp, les anciens n'avaient guère d'autre choix que d'accepter ce 
compromis arithmétique à symétrie inverse parfaite.

Comment ont-ils rationalisé une symétrie inverse aussi complexe, finalement vaincue à cause du compromis? En nous souvenant d'anciennes corrélations d'échelle et de calendrier, appliquons l'imagination à leur problème.

Ce modèle en base 60 peut être imaginé comme un corrélat approprié avec le calendrier lunaire de Sumer et de Babylone, puisqu'il deviendra plus tard la carte d'une ville circulaire idéalisée dans les lois de Platon, le calendrier et l'échelle musicale étant supposés avoir une cosmogonie similaire. Notez les correspondances suivantes:

une. L'échelle de base à sept tons nécessite les trente chiffres de l'octave 30:60, et 30 est divisée en Sin, la Lune et la limite d'octave de base.

b. Les deux échelles à sept tons opposées et le cercle de tons divisé symétriquement correspondent aux deux saisons agricoles de Sumer, au cours desquelles l'irrigation pendant l'été sec a complété la récolte d'hiver pluvieuse.

c. Dans l'octave double entre 360 ​​et 720, qui fusionne les contraires, il y a 360 unités correspondant au décompte du calendrier schématique de 12 x 30 = 360 jours. 
(Finalement, les astronomes en Inde et à Babylone ont défini ces unités comme étant "tithis", ce qui signifie 1/360 d'une année lunaire moyenne de 354 jours, soit un peu moins d'un jour solaire. Les astronomes grecs ont finalement défini les mêmes 360 unités géométriquement en degrés. concernant l'ancien Sumer.)

ré. Les demi-tons toniquement acceptables, mais acoustiquement inexacts, alternativement petits (24h25) et grands (15h16), correspondent aux 
mois lunaires incarnés dans le rituel, alternant entre 29 et 30 jours.

e. Entre a-flat = 512 et 512 g (au sens opposé), un écart correspond à l'excédent d'une année solaire sur 360 
et au défaut d'une année lunaire de 354 jours à partir de 360. (Cinq et un quart de soleil supplémentaire jours sont environ 1/69 sur 360, 
alors que l’écart dans la virgule réduite est en fait d’environ 1/60 d’octave, ce qui correspond à une correspondance presque remarquable.)

Parce que toute société agricole prospère doit trouver un moyen d’adapter 
le cycle de croissance aux cycles lunaire, solaire, rituel et schématique , nous n’avons donc pas à croire que les Sumériens ou qui que ce soit d’autre aient réellement cru que l’année comptait 360 jours. 
Seule une musicologie dédiée à la précision et à l'économie numériques trouve 720 jours et nuits (soit 360 jours et 360 nuits) cosmogoniquement corrects.

Matrix Arithmatic

Toutes les relations tonales, arithmétiques et calendaires décrites ci-dessus sont des coïncidences. Ils existent parmi les chiffres de la base 60, que quelqu'un le sache ou non, principalement parce que 60 est divisible par trois nombres premiers, 2, 3 et 5, et aucun autre, et 60 est utilisé de la manière que nous utilisons un système flottant. système décimal ponctuel.

Si la mythologie sumérienne n'offrait pas la preuve convaincante que les Sumériens étaient conscients de leurs implications tonales, alors l'établissement d'un système de base 60, qui incluait de tels modèles parfaits pour une culture orientée vers la lune et pour les harmoniques pythagoriciennes deux mille ans plus tard, serait une pure sérendipité , ce qui signifie qu'il résulte du "don de trouver des choses valables et agréables, qui ne sont pas recherchées". Mais la preuve la plus intéressante de la conscience de soi harmonique sumérienne reste à démontrer à l'aide de la sorte de matrices triangulaires de Platon, qui fonctionnent comme des "mères" harmoniquement harmonieuses. arithmétique.

Dans la Grèce de Platon, la sagesse harmonique de Babylone et de l'Inde a été transformée en théorie politique. Les hommes jouaient maintenant les rôles autrefois attribués aux dieux. Les quatre villes modèles de Platon - Callipolis (dans la République), Athènes et Atlantis (dans les Critias), et Magnésie (dans les lois) - étaient associées à un modèle musical et mathématique spécifique, tous générés à partir des dix premiers entiers. Tous sont réductibles à une étude de quatre nombres premiers: 2, 3, 5 et 7.

Dans la République et les lois, les citoyens idéalisés - représentés par un nombre - ne génèrent que dans la force de l'âge. Pour Platon, cela signifie que 2 ne génère jamais vraiment plus que l'octave modèle 1: 2, car ce nombre pair «vierge, féminin» - avec toutes ses puissances supérieures - désigne la même classe de hauteur que toute autre référence 1. (Multiplication par 4 , 8, 16,… ne génère que des identités cycliques, différentes octaves de tons que nous possédons déjà. Ce sont les «nourrices» de Platon, qui portent les enfants de ton jusqu'à ce qu'ils soient assez vieux pour «marcher» en tant que nombres entiers; "Requièrent une force physique exceptionnelle.)

La table de multiplication des nombres impairs masculins 3 x 5 génère cependant des spirales sans fin de quintes musicales (ou de quarts) et de tiers; dans l'octave féminine 1: 2, de nouveaux hauteurs sont générés aux mêmes rapports invariants. La signification grecque de symétrie doit être dans la même proportion. Ainsi, une «proportion géométrique continue» (comme 1, 3, 9, 27,… ou 1, 5, 25,…) constitue «les meilleurs liens du monde», maximisant la symétrie, qui est masquée par de simples apparences lorsque ces valeurs sont doublées. pour les mettre dans un ordre de balance préféré. La table de multiplication pour 3 x 5 graphes de multiples ensembles de symétries tonales géométriques (la seule réalité de Platon) aussi loin que l'imagination le souhaite.

La Grèce a hérité ses habitudes arithmétiques de l'Égypte, y compris son affection pour les fractions d'unité dans la définition des accords (le ratio 9: 8 était considéré comme «huit plus un huitième de lui-même», etc.). La théorie des nombres ne s'est réveillée que lorsqu'elle s'est familiarisée avec les méthodes mésopotamiennes. Ainsi, les voyages de Pythagore, légendaires ou non, ont joué un rôle important. Apparemment, ces méthodes étaient suffisamment nouvelles au quatrième siècle avant JC pour inviter son vaste commentaire, mais assez anciennes pour qu'Aristoxenus (vers 330 avant J.-C.) nie absolument toute nouveauté de Platon dans les cinquante ans à venir.

Platon est responsable d'une étonnante généralisation musicale de la formule d'accord en base 60 en 4: 3 couplé avec le 5. Ses 3, 4 et 5 correspondent à Sin = 30, Ea = 40 et Enlil = 50 et nous rappellent que les tons sont liés par les quarts parfaits, 4: 3, qui définissent les cadres de tétrachord possibles, ou par des tiers parfaits, par 4: 5. Le dernier pythagoricien qui a vraiment compris les «mariages» platoniciens a peut-être été Nicomaque au deuxième siècle de notre ère; il a promis une exposition mais aucun ne survit.

Réorganisation babylonienne d'un panthéon

Au deuxième millénaire avant notre ère, les Babyloniens réorganisèrent le panthéon sumérien hérité d'une manière qui indique très clairement son avenir pythagorien. Pour éviter la destruction par Enlil, troublé par leur confusion et leur bruit, les dieux se réorganisent sous la direction de Marduk, dieu 10, le baal biblique, à qui tous les autres dieux cèdent leurs pouvoirs.

C’est là une belle réduction de l’expertise sumérienne avec fractions réciproques à un aperçu plus philosophique des harmoniques générés exclusivement par les dix premiers entiers (les «enfants jusqu’à dix ans» de Socrate dans la République, âge au-delà duquel il doutait que les citoyens soient réellement adaptés pour les communautés idéales).

Pour célébrer leur survie après la défaite de Marduk contre la femme serpent Tiamat, envoyée pour les détruire, les dieux lui décernent le statut de temple; les briques ont besoin de deux ans (2 x 360 = 720) pour être fabriquées. Ceci mythifie 720, l'unité sumérienne de mesure de brique et le plus petit indice tonal capable de corréler les contraires de sept tons en une octave calendaire de douze tons. Lorsque les briques tonales / arithmétiques de Marduk sont alignées dans l'ordre de la matrice, nous voyons que la forme générale de son temple (avec un indice de 720) est une forme agrandie du temple d'Enlil (avec un indice de 60); Enlil confie maintenant ses 50 noms à Marduk. Ce temple fait briller le visage de Mardouk avec plaisir, nous dit-on.

Permettez-moi de conclure notre discussion sur la victoire de Marduk sur le dragon, Tiamat.

Accordage 'Grand Dragon'

Il est maintenant normal que les enfants apprennent à jouer de la musique comme une spirale de quintes et de quarts musicaux, car ils sont réellement réglés - pour la commodité de l'oreille - et que ces tons sont montrés dans un cercle de tons. Je propose que ce cycle alternatif de haut en bas inspire le dragon et la grande tradition des serpents de la mythologie antique (fig. 13).

Les ondulations serpentines sont visibles par tous les harpistes dans les longueurs de cordes successives lorsqu'elles sont prises dans l'ordre de réglage (comme elles le sont toujours nécessairement), et les ondulations peuvent être vues dans n'importe quel ensemble de tuyaux de hauteur lorsqu'ils sont alignés de manière similaire, comme en Chine. Parce que les mêmes numéros de tonalité fonctionnent réciproquement comme des multiples de fréquence et de longueur d'onde, ils ont aujourd'hui la même double signification que celle qu'ils avaient à l'époque sumérienne. Il est donc tout à fait approprié de représenter cette spirale à la fois en avant et en arrière, simultanément, avec des serpents entrelacés.

Dans le récit mythologique, Marduk tue le dragon (qui est vraisemblablement le continuum de pas possibles représentés par la chaîne indivis) en le coupant d’abord en deux pour établir l’octave 1: 2. Ensuite, couper probablement les «sections» des autres hauteurs. Aucun nombre plus grand que celui de Marduk, c'est-à-dire 10, ne joue aucun rôle dans la section géométrique de la chaîne.

Ce double sens «serpentin» - quintes et quarts musicales montantes et descendantes - est au cœur même de notre conscience de la structure musicale. Sumer n'a pas hésité à faire du double serpent le centre de la symétrie, comme sur ce vase en stéatite de Gudea (fig. 14), prêtre-roi de Lagash vers 2450 av. J.-C., où ils sont flanqués symétriquement de gryphons.

Les grands nombres et difficiles à manier peuvent être évités si les rapports 4: 5 et 5: 6 introduits par Enlil sont utilisés pour définir l’échelle à sept tons (auquel cas tous les nombres sont à deux chiffres). Utilisé pour l'échelle à douze tons, ses numéros ne nécessitent que trois chiffres. Ainsi, dans Sumer, Enlil = 50, déification en base 60 de l'humain, nombre premier masculin 5, réduit considérablement notre travail de calcul de la numérotation pythagoricienne à six chiffres (dans laquelle un douzième ton requiert 311 = 177,147) à trois, et sans diminution notable de l’utilité mélodique (fig. 15). Seuls les cinq tons centraux (CGDAE) du Grand Serpent apparaissent à la figure 12, où ils sont indiqués par des lignes radiales continues. Tous les autres sons sont dus à Enlil.

Historiquement, la musique européenne a réintroduit ce système d’accord juste au XVe siècle de notre ère afin d’obtenir des triades parfait 4: 5: 6 pour ses nouvelles harmonies sans dépasser douze tons. Les anciens l'aimaient probablement plus pour son économie arithmétique que pour sa pureté triadique. Les microtonalistes d'aujourd'hui, équipés d'une nouvelle technologie puissante, sont à nouveau à la recherche d'un emploi efficace de ces anciens ratios de dieu sumérien.

Les origines ultimes de la théorie de la musique, par opposition à la codification sumérienne que je déduis ici, restent perdues dans un passé beaucoup plus lointain, tout comme l’origine de notre sens du nombre. Ils sont fondés sur un patrimoine biologique auditif commun, dont certains sont partagés avec d'autres animaux, et ne dépendent en aucun cas, comme le note Aristote, d'une définition numérique précise. Comme l'a expliqué William Thompson, éminent musicologue contemporain, dans notre correspondance,

En s’adaptant à notre environnement complexe, nos systèmes d’ingestion sensorielle sont devenus… des filtres indulgents nous permettant de généraliser…. C’est, j'en suis convaincu, le produit d’un comportement adaptatif très précoce, d’une part de notre chance de survie… en Le système neuronal a développé une myriade de réseaux qui sont trop performants pour effectuer des tâches simples.